拉普拉斯-龍格-冷次向量

在這篇文章內,向量與其量值分別用正粗體斜體表示;例如,

經典力學裏,拉普拉斯-龍格-冷次向量(簡寫為 LRL 向量)主要是用來描述,當一個物體環繞著另外一個物體運動時,軌道的形狀與取向。典型的一個例子是行星的環繞著太陽公轉。在一個物理系統裏,假若兩個物體以萬有引力互相作用,則 LRL 向量必定是一個運動常數;不管在軌道的任何那一點計算,值都是一樣的[1] ;也就是說, LRL 向量是一個保守值。更廣義地,在克卜勒問題裏,兩個物體以連心力互相作用,連心力的量值遵守反平方定律,則 LRL 向量是一個保守值[2]

氫原子是由兩個電荷粒子構成的。這兩個電荷粒子以遵守庫侖定律靜電力互相作用.靜電力是一個標準的反平方連心力。所以,氫原子內部的微觀運動是一個克卜勒問題。在量子力學的發展初期,薛丁格方程式尚未醞釀成功的時候,LRL 向量概念關鍵性的導引出氫原子的發射光譜[3]

經典力學量子力學裏,因為物理系統的某一種對稱性,會產生一個或多個對應的保守值。 LRL 向量也不例外。可是,它相對應的對稱性很特別;在數學裏,克卜勒問題等價於 一個粒子自由地移動於 四維空間的三維單位球[4];所以,整個問題涉及四維空間的某種轉動的對稱性[5]

這種較高度的對稱性,是克卜勒問題的兩個特性造成的。這可以用端點曲線圖顯示出來:

  1. 粒子的動量向量的頭部呈圓形移動。
  2. 設定總能量不變,所有可能的移動的圓圈相交於同樣兩點[6]

拉普拉斯-龍格-冷次向量是因皮埃爾-西蒙·拉普拉斯卡爾·龍格,與威爾漢·冷次而命名。它又稱為拉普拉斯向量龍格-冷次向量,或冷次向量。有趣的是,LRL 向量並不是這三位先生發現的!這向量曾經被重複地發現過好幾次[7]。它等價於天體力學中無因次離心率向量[8]。發展至今,在物理學裏,有許多各種各樣的 LRL 向量的推廣定義;有些包含了狹義相對論效應,或電磁場效應,甚至不同類型的連心力

概論

在一個物理系統裏,在任何保守連心力的作用下(參閱保守力),一個粒子的運動,擁有至少四個運動常數;總能量角動量向量 的三個直角坐標皆為物理常數。粒子的軌道被限制於一個平面之間;這平面決定於粒子的動量 與從力中心點至粒子地點的位移 (參閱圖 1)。粒子的運動平面垂直於角動量 ,一個常數向量。用方程式表示,

LRL 向量 ,也總是包含於粒子的運動平面中。可是,只有當連心力遵守反平方定律時, 才是常數[1]。對於別種連心力, 不是常數,其量值與方向都會改變。假若連心力近似地遵守反平方定律,則 的量值近似常數,而方向會緩慢地轉動。對於所有的連心力,我們可以定義一個廣義 LRL 向量,但是,這廣義向量通常並沒有解析解,假若有,也會是一個非常複雜的函數[9][10]

歷史

在重要的克卜勒問題中, LRL 向量 是一個運動常數,時常用來描述天文軌道,例如行星的運動。然而,物理學家對它並不熟悉,這很可能是因為與動量與角動量相比,它比較難以被直覺地理解內涵的物理。因此,在過去三個世紀裏,它曾被重複地發現過許多次[7]雅各布·赫爾曼最先表明,在某種特別的反平方連心力作用下,LRL 向量 是保守的[11];並且導引出此案例與橢圓軌道離心率的關係。 1710 年,约翰·白努利將赫爾曼的傑作推廣至現代形式[12]。在那個世紀末尾,皮埃爾-西蒙·拉普拉斯又重新地發現了 LRL 向量的保守性;稍微不同地,他的導引使用的是數學分析方法,而不是幾何方法[13]。十九世紀中葉,威廉·盧雲·哈密頓導引出全等的離心率向量[8]。他用離心率向量來證明,在反平方連心力作用下,端點曲線圖顯示出,粒子動量向量的頭部呈圓形移動[6] (參閱圖 3)。二十世紀初,約西亞·威拉德·吉布斯,應用向量分析,導引出同樣的向量[14]。後來,卡爾·龍格將吉布斯的導引,納入龍格所寫的一本廣受歡迎的,關於向量的,德文教科書內,成為其中的一個例題[15] 。1924 年,威爾漢·冷次發表了一篇關於原子舊量子論old quantum theory)的論文。在這篇論文中,他引用了龍格所寫的教科書的例題為參考[16]。1926 年, 沃爾夫岡·包立用 LRL 向量與矩陣力學,而不是薛丁格方程式,來導引原子光譜[3]

數學定義

圖 1:在反平方連心力作用下,一個移動的粒子,在橢圓軌道的四點(標記為 1, 2, 3, 與 4 )的 LRL 向量 (紅色表示)是恆定的。力中心點表示為一個小黑點;從這黑點,位置向量 (黑色表示)以徑向方向散發出。角動量 垂直於軌道所在的平面。共面的向量 分別用藍色與綠色表示。

反平方連心力方程式可以表示為

在此力的作用下,一個粒子的 LRL 向量的數學定義方程式為

其中, 是粒子的質量動量角動量 是一個代表連心力強度的參數, 是粒子的位置向量 是其對應的單位向量 的量值。

由於反平方連心力為保守力,總能量 運動常數

再者,角動量 也是保守的,可以決定粒子移動的平面。 LRL 向量 垂直於角動量 ,因為 都垂直於 ,所以, 包含於軌道的平面。

這關於單獨粒子的 LRL 向量定義,也可以延伸至二體問題,像克卜勒問題。我們只需要指定質量 為二個物體的約化質量,指定位置向量 為二個物體之間的相對位置向量。

定義離心率向量 為 LRL 向量與 的除商:

克卜勒軌道導引

圖 2:這是圖 1 的簡化版,角 定義為 之間的夾角。

克卜勒問題軌道的形狀與取向,可以用 LRL 向量決定[1] 的點積為

其中, 之間的夾角。

置換三重積

所以,

編排成圓錐曲線的方程式形式:

離心率


克卜勒軌道與能量的關係可以由 LRL 向量導引出。 與自己的點積為

所以,

稍微編排,離心率的平方 是能量 的函數:

假若能量 是負值的(束縛軌道),則離心率小於 1 ,這軌道是橢圓形軌道。相反地,假若能量是正值的(非束縛軌道,又稱為散射軌道)則離心率大於 1 ,這軌道是雙曲線軌道。最後,假若能量等於零,則離心率等於 1 ,這軌道是拋物線軌道。對於所有狀況, LRL 向量與圓錐曲線的對稱軸平行,而且從力中心點指向近拱點

圓形的動量端點曲線

圖 3 :隨著粒子呈橢圓形移動,在端點曲線圖裏,動量向量 (藍色表示) 的頭部呈圓形移動。四個標記的點對應於圖 1 的四點。圓形的中心是在 py-軸,py-座標為 (品紅色表示),半徑是 (綠色表示)。

在反平方連心力作用下,動量端點曲線圖(圖 3 )顯示出,粒子的動量向量的頭部呈圓形移動;這可以用 LRL 向量 與角動量 的保守性來證明[6][7]。計算 叉積

設定 xyz 參考系的圓點在力中心點 與 z-軸同方向,x-軸與半長軸同軸。則

換句話說,動量 的矢頭部被限制於一個圓圈;圓圈的半徑為 ,圓心為 。如圖 3 所示,圓形的動量端點曲線 毫無疑問地顯示出克卜勒問題對稱性

為點 2 與圓心的連線,與負 py-軸的夾角。很顯然地,離心率等於 。為了簡化運算,我們在這裏提出一個很有用的變數

運動常數與超級可積分性

在克卜勒問題裏,兩個向量 與一個純量 加起來一共有七個常數純值。它們之間的相依性表達於 這兩個公式。因為 的量值可以由角動量 與能量 計算出來;再者, 必須垂直於 ;所以, 只能貢獻1個運動常數:只有 在粒子運動平面的方向是獨立恆定的。

由於有兩個關係公式,這物理系統一共有五個獨立的運動常數。這結果與設定粒子軌道所需的六個初始條件(粒子的初始位置向量與初始速度向量,每一個向量有三個分量)相符合,原因是運動常數不涉及初始時間(視六個初始條件函數的參數為自變量初始時間。用其中的一個初始條件函數除去這自變量;將此初始條件函數當作一個自變量,則剰餘五個初始條件函數,函數的參數為新自變量)。

因為運動方程式是二階微分方程,一個擁有 自由度的物理系統,需要 初始條件來設定解答。由於運動常數不涉及初始時間,這物理系統最多只能擁有 運動常數。一個擁有超過 個運動常數的物理系統稱為超級可積分系統;而一個擁有 個運動常數的物理系統稱為最大超級可積分系統[17]哈密頓-亞可比方程式的解答,對於每一個座標系統,最多只能求得 個運動常數[18]

克卜勒問題擁有三個自由度( )與五個運動常數;克卜勒問題的系統是最大超級可積分系統;在球座標系拋物線座標系內,哈密頓-亞可比方程式都是可分的[19];這論據,稍後會有詳細的解釋。最大超級可積分系統可以用對易關係量子化,這論據,稍後也會又更明瞭的說明[20]

在微擾勢下的系統演化

Figure 5 :橢圓軌道的慢進動,離心率 。 假若,引性的連心力與反平方定律稍微有點不同,類似的進動就會發生。

只有在一個標準的反平方連心力下,粒子的 LRL 向量 是保守的。對於大多數的實際問題,例如行星運動,作用力並不會完全地遵守反平方定律;互相作用力裏,可能包括別種微擾的連心力;稱其不定積分微擾勢,標記為 。在這種狀況下,LRL 向量會緩慢地轉動於軌道平面,相應於軌道的慢進動。假若微擾勢 為一個保守的連心勢,也就是說,總能量 與角動量 都是保守的,則粒子的運動 仍舊包含於一個垂直於 的平面,量值 仍舊是保守的。微擾勢 可以是任何形式的函數。但是,微擾值應該顯著地弱於,兩個物體之間 主要的連心勢。一個典形的微擾勢可以表示為

其中, 是微擾勢強度,整數

正值微擾理論作用量-角度座標,可以直接地導引出 LRL 向量的轉動率是[1]

其中, 是軌道週期,恆等式 轉變時間積分為角積分(如圖 5 )。角括號內的表達式 代表週期平均微擾勢;也就是說,物體繞軌道一個公轉 的平均微擾勢。取平均值可以減少轉動率的變動。

這方法以前曾經被用來證實愛因斯坦廣義相對論。廣義相對論在平常的牛頓萬有引力項目外,還另加了一項小的反立方微擾[21]

將此函數代入積分。再代入 的關係公式

就可以計算出 這非牛頓微擾所產生的 近拱點進動率[21]:

計算出的答案 準確地符合 實驗觀測到的水星進動數據[22]雙重脈衝星數據[23]。這與實驗數據一致的結果被認為是廣義相對論的強證[24][25]

帕松括號

角動量 的三個分量 帕松括號[1]

其中,指標 代表直角座標系的三個座標 列維-奇維塔符號;在這裏,為了避免與力強度的標記 發生混淆,採用 為連加運算的指標。

定義一個與 LRL 向量成比例的向量

向量 與角動量 的單位相同。 的帕松括號為[26]

向量 與自己的帕松括號相依於總能量 的正負號;也就是說,相依於是否總能量 是正值(在反平方連心力作用下,產生開放的雙曲線軌道),或負值(在反平方連心力作用下,產生閉合地橢圓軌道)。假若總能量 是正值,帕松括號是

反之,假若總能量 是負值,帕松括號是

由於這三個帕松括號公式,

我們可以確定,如果總能量 是負值,則克卜勒問題的對稱群是四維的旋轉群 SO(4) 。

假若總能量 是負值,卡西米爾不變量 (Casimir invariant) 定義為

而且,卡西米爾不變量與 的每一個分量的帕松括號皆為零:

還有,卡西米爾不變量與 的每一個分量的帕松括號皆為零:

既然兩個向量 永遠是互相垂直的, 明顯地是零。可是,另外一個不變量 只相依於質量 ,力強度 ,與總能量 。不變量 分別與 的帕松括號等於零的導引並不明顯。這不變量 ,讓我們能夠用量子力學正則對易關係導引出類氫原子原子能階,而不需用到慣常用的薛丁格方程式

氫原子量子力學

圖 6 :從 LRL 向量與角動量的對易關係預測的氫原子的原子能階。這些能階已被實驗準確地證明。

帕松括號提供了一個簡易的方法來量子化經典系統。兩個量子算符對易關係等於 乘以對應的經典變數[27]。經過這量子化程序,計算克卜勒問題的卡西米爾算符 本徵值沃爾夫岡·包利成功地導引出類氫原子原子能階(參閱圖 6 ),以及其發射光譜[3]。這精緻的答案在薛丁格方程式發表以前,就已經導引出來了[28]

LRL 向量 的量子算符有一個微妙之處,那就是動量算符與角動量算符並不對易;所以,動量與角動量的叉積必須仔細的定義[26]。LRL 向量的直角座標分量典型地定義為

這定義的特性是,指標 是對稱的,指標 的互換不會改變 的值。

其相應的階梯算符定義為

一個正規化的第一卡西米爾不變量可以同樣地定義為

其中, 是哈密頓量能量算符的反算符,恆等算符。將這些階梯算符作用於角動量算符,天頂角動量算符,與能量算符的本徵態 ,第一卡西米爾算符 的本徵值是 ;重點是,這些本徵值不相依於量子數 ,這造成了原子能階簡併[26]

如圖 6 ,這結果與類氫原子芮得柏公式相同。

保守性與對稱性

在克卜勒問題裏,LRL 向量的保守性 對應於系統的一種微妙的對稱性。在經典力學裏,對稱性顯示於一種連續運算;這連續運算可以將一個軌道映射至另外一個軌道,而同時保持系統的能量不變。在量子力學裏,對稱性顯示於 將同能級原子軌域簡並原子軌域)混合在一起 的連續運算。

通常,關於每一個對稱性都會存在有一個保守量[1]。例如,連心力系統必對稱於旋轉群 SO(3) ;因而引導出角動量 的保守性。在經典力學裏,整個系統的旋轉不會影響軌道的能量。在量子力學裏,旋轉混合了角量子數相同的球諧函數,而不改變系統的能量。

圖 7 :同能量的動量端點曲線家族。每一個圓圈都經過在px-軸上,同樣的兩點 。這一家族的動量端點曲線對應於一個家族的阿波羅尼奧斯圓,與雙極座標的 σ 座標曲面

反平方連心力系統的對稱性是更高維與更微妙的。克卜勒問題奇特的對稱性是由角動量 與 LRL 向量 的雙重保守性造成的;這保證了氫原子的能級不相依於角量子數 與磁量子數 。由於對稱性運算必須發生於更高維空間,使得這對稱性更加的微妙;這類的對稱性常稱為隱祕對稱性[29]。在經典力學裏,克卜勒問題的高維對稱性 容許連續的改變軌道.只要保持能量不變,而角動量可以改變;換句話說,同能量,不同角動量(離心率)的軌道可以互相的連續變換。在量子力學裏,這對應著不同角量子數 與磁量子數 的軌域的混合,例如 原子軌域的混合。這種混合是不能用普通的三維平移運算或旋轉運算達成的。可是,這種混合等價於高維度空間的旋轉。

在一個束縛 (bounded) 系統裏,能量是負值的,這高維對稱群是 SO(4) ;特性是四維向量的長度保持不變:

1935 年,弗拉基米爾·佛克 (Vladimir Fock)表明,在量子力學裏,約束的克卜勒問題 等價於 一個粒子自由地移動於 四維空間的三維單位球[4]。更具體地,佛克表明,在克卜勒問題的動量空間,薛丁格波函數球諧函數在球上的球極平面投影。球的旋轉與重複射影造成了橢圓軌域的連續映射,同時維持能量不變;這對應於主量子數 相同的軌域的混合。隨後,華倫泰·巴格曼注意到,跟 LRL 向量成比例的向量 與角動量 帕松括號形成 SO(4) 的李代數[5]。簡單地說, 的六個物理值對應於在四維空間裏的六個保守的角動量,這相連於在四維空間裏的六個合法的簡單旋轉(從四個軸中,選兩個軸為旋轉軸。一共有六種可能)。這結論並不意示我們的宇宙是一個三維球面;而只意示,在數學上,這個特別的物理問題(克卜勒問題)等價於局限於三維球面的一個自由粒子。

在一個非束縛 (unbound) ,散射 (scattering) 系統裏,能量是正值的,對應的高維對稱群是 SO(3,1) ;特性是四維矢量閔考斯基長度保持不變:

連心力系統的軌道對於反射也具有對稱性。所以,軌道的完全群並不是前面所提的 SO(3) ,SO(4) ,與 SO(3,1) 群;而分別是 O(3) ,O(4) ,與 O(3,1) 。然而,我們只需要連通子群 SO(3) ,SO(4),與 SO(3,1) 來展示出角動量與 LRL 向量的保守性;反射對稱性與保守性不相關。保守性可以由群的李代數導引出來[30][31]

旋轉對稱性在四維空間

圖 8 :圖 7 的動量端點曲線對應於大圓線 三維單位球球極平面投影。每一個大圓線都與 -軸相交,後者垂直於頁面。射影是從北極( 單位向量)到 -平面,如同這裏的虛黑線表示於品紅色端點曲線。在緯度 的大圓線對應於離心率 。在這圖裏的大圓線的顏色對應於它們在圖 7 的動量端點曲線。

克卜勒問題與四維旋轉對稱性 SO(4) 的關聯可以很容易地觀察出來[30][32][33]。標記四維直角座標 ;其中, 代表三維位置向量 的直角座標。三維動量向量 與四維向量 三維單位球上 的關係為

其中, 是新的 w-軸的單位向量。

的映射有一個獨特唯一的逆反;例如,動量 的 x-軸分量是

也有類似的公式。換句話說,三維動量向量 是一個四維向量 球極平面投影,其比例因子為

選擇直角座標,使 z-軸與角動量 同直線,使動量端點曲線的取向如同圖 7 ,圓心包含於 y-軸。這樣,不失廣義性,我們可以除去平常的旋轉對稱性。由於粒子的運動包含於一個平面, 互相垂直,而且, 。因此,我們只需要專注於三維向量 。這動量端點曲線的阿波羅尼奧斯圓 家族對應於在三維單位球 大圓線家族。每一個大圓線與 相交於兩個交點 。這兩個交點相對於動量端點曲線圖的兩點 。這些大圓線相關於一個環繞著 -軸的簡單旋轉(參閱圖 8 )。這旋轉的對稱性使所有同能量的軌道都能夠互相變換。但是,這旋轉正交於平常的三維旋轉,因為它涉及了第四維 。高維度的對稱性是克卜勒問題對應於 LRL 向量的一個特徵。

採用橢圓柱坐標 (elliptic cylindrical coordinate) 來代替四維座標 ,克卜勒問題有一個精緻的作用量-角度座標解答[34]

其中, 亞可比橢圓函數 (Jacobi's elliptic functions) 。

推廣

LRL 向量可以被推廣至其他狀況;可以用它來確定在其他狀況下,可能產生的保守值。

假若,一個物理系統裏,存在著電場 ,保守的廣義 LRL 向量 [19][35]

其中, 是粒子的電荷。

最廣義的 LRL 向量的形式可以表達為[9]

其中, (參閱伯特蘭定理), ,角 定義為

洛侖茲因子。如同前面,計算 的叉積,可以得到一個保守的副法線向量

綜和兩個向量成為一個保守的並矢張量

舉例說明,計算一個非相對論性,均向性諧振子的 LRL 向量。由於作用力是連心力,角動量是保守的,粒子的運動包含於一個平面。雖然,我們要注意到, 不是一定互相垂直的,保守的並矢張量可以表達為一個簡單的形式:

其相應的 LRL 向量必較複雜

其中, 是自然振率。

克卜勒問題 LRL 向量恆定的證明

下述兩個論證,證明在反平方連心力下,LRL 向量的恆定性。

直接證明

假若一個連心力 作用於一個粒子。根據牛頓第二定律,運動方程式為

其中, 是函數, 為粒子的位置, 是徑向單位向量 是動量, 是時間。

因為,在連心力下,角動量 是恆定的,

所以,

代入以下恆等式

可以得到方程式,

代入反平方連心力的方程式

所以,在反平方連心力下, 是恆定的:

哈密頓-亞可比方程式

我們也可以用哈密頓-亞可比方程式的可分性導引出 LRL 向量的恆定性[19][36]。採用拋物線座標 ,定義

其中,直角座標 是軌道的徑向距離:

逆反過來,

則克卜勒問題的哈密頓量

其中, 分別是廣義座標 的共軛動量。

由於克卜勒問題的勢函數只相依於廣義座標,哈密頓量是個能量運動常數, 。稍為編排,

這公式的左手邊與右手邊分別相依於不同的廣義座標,所以,兩邊都相等於一個運動常數,標記為

思考 LRL 向量的 分量,

代入能量方程式 ,則

這公式右手邊,前三個項目,經過一番計算,可以得到

所以, 也是運動常數:

諾特定理

LRL 向量的保守性與前面所提的旋轉對稱性之間的關係,可以用諾特定理來做連結分析。諾特定理也可以用來辨明 LRL 向量是運動常數。諾特定理闡明[37]:在一個物理系統裏,隨著一個廣義座標 的無窮小變分

如果拉格朗日量 變分 為,取至無窮小量 的一階:

則必存在保守量

更具體地,在一個克卜勒問題裏,假設座標 的無窮小變分為

其中, 分別為位置 與動量 -軸分量,克羅內克爾δ 是固定的指標。

由於克卜勒問題的拉格朗日量是

運動方程式

對應於座標 的變分,速度 的變分為

拉格朗日量取至一階的變分是

帶入保守量 的公式,則會得到

而這正是 LRL 向量的 -軸分量

李變換

圖 9: 導引出 LRL 向量保守性的李變換。當這比例參數 改變時,能量與角動量的大小也一起改變,可是離心率 與 LRL 向量 的大小與方向不變。

諾特定理精緻地導引出 LRL 向量的保守性。美中不足地,這導引有一個弱點:座標變分 不只涉及了位置 ,而且還涉及了動量 [38] 。假若,我們使用數學家索菲斯·李創建的方法來導引,可以除去這弱點[39][40] 。具體地,我們可以定義一個李變換[29],座標 與時間 都按照比例變換,比例是參數 的不同羃數:

這變換改變了角動量 的大小與能量

可是,仍舊保持不變乘積 。所以,離心率 與 LRL 向量 的大小不變。這可以從 的公式觀察出:

由於半短軸半長軸的取向 不因整體的比例變換 而改變,LRL 向量 的方向也會保持不變。在李變換下,克卜勒第三定律也仍舊有效,半長軸 與週期 形成常數

別種比例與表述

不同於動量與角動量,並沒有公眾接受的 LRL 向量定義;在科學文獻裏,有幾種不同的比例因子與符號。前面所述的定義是最普遍的定義。另外一種常見的定義,將 除以 ;這樣,可以得到一個無因次的離心率向量

其中, 是速度。離心率向量 的方向與 相同,大小是軌道的離心率。別種比例的版本也可能會用到。例如,將 除以

或者,將 除以

與角動量 的單位相同。在非常稀有的狀況, LRL 向量的正負號會改變。這些,都不會影響它是運動常數的事實。

圖 4: 角動量 , LRL 向量 ,與副法線向量 都互相垂直。 分別和橢圓的半長軸與半短軸的指向相同。

另外一個保守的向量是副法線向量 威廉·盧雲·哈密頓曾經研究過這向量[8]

這保守的向量與橢圓的半短軸的指向相同。 叉積 。兩個向量 可以結合起來形成一個保守的並矢張量 [9]

其中, 是任意比例常數, 表示張量積。展開這公式為

由於兩個向量互相垂直, 可以視為保守的張量 主軸,也就是說,按比例的特徵向量。由於 都垂直於 ,張量 垂直於角動量

參閱

參考文獻

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外部連結

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