Главная страница

Надпли́нний ге́лій-4 (англ. superfluid helium-4) — це надплинна форма гелію-4, ізотопу елемента гелію. Надплинним є фазовий стан, в якому речовина поводиться як рідина з нульовою в'язкістю. Речовина, яка виглядає як звичайна рідина, тече без тертя по будь-якій поверхні, що дозволяє їй обходити перешкоди і проникати через пори в ємностях, підкоряючись тільки своїй власній інерції.

Відомий як основний об'єкт квантової гідродинаміки[en] і досліджень макроскопічних квантових явищ[en], ефект надплинності був виявлений Петром Капіцою[1], Джоном Аленом[en] і Доном Мізенером[en][2] в 1937 році. Відтоді він був описаний через феноменологічні і мікроскопічні теорії. Формування надплинності вважається пов'язаним з утворенням конденсату Бозе-Ейнштейна. Свідченням цього є той факт, що надплинність спостерігається в рідкому гелії-4 при набагато вищих температурах, ніж її можна спостерігати в ізотопу гелію-3. Кожен атом гелію-4 є бозоном, оскільки його спін дорівнює нулю. Гелій-3, проте, є ферміоном, що може утворювати бозони тільки шляхом спаровування з аналогічним атомом при нижчих температурах, в процесі, подібному до спаровування електронів в явищі надпровідності.

На сьогодні, єдиною крім гелію рідиною, якій властивий надплинний стан, є параводень (у дуже малих кількостях — кілька десятків молекул — адже зазвичай молекули орто- і параводню добре перемішані навіть за дуже низьких температур).[3]

Гелій починає показувати надплинну поведінку при охолодженні до критичної температури 2,17 K, коли його значна частина стає надплинною. При температурі 1 K він стає надплинним майже повністю.[4]

Історія досліджень

У 50-ті роки XX століття Голл (Hall H.E.) і Вайнен (Vinen W.F.) провели експерименти, що встановили існування квантованих вихрових ліній в надплинному гелії.[5] У 60-ті роки Рейфілд (Rayfield) і Райф (Reif) встановили існування квантових вихрових кілець.[6] Пакард (Packard) спостерігав перетин вихрових ліній з вільною поверхнею рідини,[7], Авенель (Avenel) і Вероку (Varoquaux) вивчали ефект Джозефсона в надплинному гелії-4.[8] У 2006 році група вчених з Університету штату Меріленд візуалізувала квантові вихори за допомогою невеликих маркерних часток твердого водню.[9]

У 21-му столітті

На початку 2000-х років, фізики створили ферміонний конденсат[en] з пар ультрахолодних атомів-ферміонів[джерело?]. При певних умовах пари ферміонів утворюють двоатомні молекули, і в їхній системі стає можливою конденсація Бозе-Ейнштейна. В іншій крайності ферміони (зокрема, більшість надпровідних електронів) утворюють куперівські пари, для яких також властива надплинність. Ця робота про ультрахолодні атомічні гази дозволила досліджувати область між цими двома крайностями, відому як BEC-BCS кросовер.

Надплинні тверді тіла[en], можливо, також були виявлені в 2004 році фізиками з університету штату Пенсильванія. Коли гелій-4 охолодити до температури нижче, ніж приблизно 200 мК при високому тиску, близько одновідсоткова частина твердого тіла, як видається, стає надплинною.[10][11] Було показано за допомогою експерименту торсіонного осцилятора, що при різкому охолодженні або подовження часу нормалізації, тим самим збільшуючи або зменшуючи щільність дефектів відповідно, фракція надлинного твердого тіла може бути в діапазоні від 20 % до повністю відсутньої. Це дозволило припустити, що надплиннотвердотільна природа гелію-4 не притаманна гелію-4, але є властивістю гелію-4 і невпорядкованості.[12][13] Деякі нові теорії постулюють, що супер твердий сигнал, що спостерігається в гелії-4 був насправді спостереження або стану надскловидного[14] або внутрішньо надплинним кордоном зерен в кристалі гелію-4.[15]

Властивості

Мал. 1. Фазова діаграма ⁴He. На цій діаграмі також подана λ-лінія.
Мал. 2. Теплоємність рідини 4He при тиску насиченої пари як функція температури. Пік при T = 2,17 K зазначає фазовий перехід (другого порядку).
Мал. 3. Температурна залежність відносних надплинної і нормальної компонент ρn/ρ і ρs/ρ як функцій T.

Малюнок 1 — це фазова діаграма 4He.[16] Ця діаграма тиску-температури (р-Т) показує області перебування гелію в твердому й рідкому станах, розділені кривою плавлення (між рідким і твердим станом) і ділянки перебування в стані рідини й газу, розділені лінією тиску випаровування. Остання лінія закінчується в критичній точці, де різниця між газом і рідиною зникає. Діаграма показує унікальну властивість, що 4He перебуває в рідкому стані навіть при абсолютному нулі. Гелій-4 твердий тільки при тисках понад 25 бар.

На малюнку 1 також показана λ-лінія. Це лінія, яка на фазовій діаграмі розділяє дві ділянки рідкого стану, позначені як He-I і He-II. На ділянці He-I гелій поводиться як нормальна рідина, тоді як ділянці He-II гелій надплинний.

Назва лямбда-лінії походить від своєрідного графіку залежності теплоємності від температури, що має форму грецької літери λ (лямбда)[17][18]. Малюнок 2 показує пік при температурі 2,172 К, у λ-точці 4He.

Нижче лямбда-лінії поведінка гелію може бути описана так званою дворідинною моделлю. Він поводить себе так, начебто складається з двох компонент: нормальної, що поводиться як звичайна рідина, і надплинної компоненти з нульовою в'язкістю й нульовою ентропією. Співвідношення відповідних густин ρn/ρ і ρs/ρ, де ρns) —густина нормальної (надплинної) компоненти, і ρ (загальна густина), залежить від температури і представлена на малюнку 3[19]. При зниженні температури, частка надплинної густини зростає від нуля при Tλ до одиниці при нульовій температурі за Кельвіном. Нижче 1 K гелій майже повністю надплинний.

Можна створювати густинні хвилі нормальної компоненти (а, відтак, надплинної компоненти, оскільки як ρn + ρs = константі), які нагадують звичайні звукові хвилі. Цей ефект називається другим звуком. Через температурну залежність ρn (рисунок 3) ці хвилі у ρn є також температурними хвилями.

Рис. 4. Гелій II буде «повзти» по поверхні, щоб знайти свій власний рівень — через деякий час, рівні в двох контейнерах зрівняються. Плівка Ролліна[en] також охоплює внутрішню частину ємності більшого контейнера; якби він не був би запечатаний, то гелій II виповз би й утік геть.
Рис. 5. Рідкий гелій перебуває в надплинній фазі. Доки він залишається надплинним, повзе вгору по стіні чаші у вигляді тонкої плівки. Далі він опускається по зовнішній стороні, утворюючи краплю, яка падає в рідину нижче. Краплі формуватимуться одна за одною, аж доки чашка не спорожніє.

Потік плівки

Багато звичайних рідин, такі як спирт або нафта, повзтимуть вгору твердими стінками завдяки явищу змочування, зумовленого поверхневим натягом. Рідкий гелій також має цю властивість, але, у випадку He-II, потік рідини в шарі обмежується не його в'язкістю, а критичною швидкістю, яка становить близько 20 см/с. Це досить висока швидкість, тому надплинний гелій може порівняно легко текти вгору стінками контейнера, дотікати аж до верху і перетікати через край, і текти аж до того ж рівня, що й поверхня рідини всередині ємності. Цей сифонний ефект схематично показано на малюнку 4. У контейнері, піднятому вище рівня рідини, вона утворює видимі краплі, як показано на малюнку 5.

Різниця з гелієм-3

Хоча феноменології надплинних станів гелію-4 і гелію-3 дуже схожі, мікроскопічні деталі переходів сильно відрізняються. Атоми гелію-4 є бозонами, і їхня надплинність може бути пояснена з точки зору статистики Бозе-Ейнштейна, якій вони підпорядковуються. Зокрема, надплинність гелію-4 можна розглядати як наслідок конденсації Бозе-Ейнштейна в системі з взаємодією. З іншого боку, атоми гелію-3 є ферміонами, і надплинний перехід у цій системі описується узагальненням теорії надпровідності БКШ. У цій теорії відбувається Куперівське парування між атомами (а не електронами як у БКШ) і взаємодія притягування між ними передається через спінові, а не фононні флуктуації. (Див. ферміонний конденсат[en].) Єдиний опис надпровідності і надплинності можливий з погляду спонтанного порушення калібрувальної симетрії.

Двокомпонентність

Надплинні рідини, такі як гелій-4 нижче лямбда-точки, мають чимало незвичайних властивостей. Надплинність працює так, наче рідина є сумішшю складових з властивостями звичайної рідини і надплинної компонент. Надплинна компонента має нульову в'язкість і нульову ентропію. Прикладання тепла до зони в надплинному гелії призводить до потоку нормальної компоненти, який забезпечує перенесення тепла з відносно високою швидкістю (до 20 см/с), що призводить до дуже високої ефективної теплопровідності.

Квантові вихори

Інша фундаментальна властивість проявляється, якщо надплинну рідину помістити в центрифугу (контейнер, що обертається). Замість того, щоб обертатися рівномірно разом із контейнером, у гелії виникають квантові вихори. Тобто, коли контейнер обертається зі швидкістю нижчою першої критичної кутової швидкості, рідина залишається абсолютно нерухомою. Після того, як буде досягнута перша критична кутова швидкість, надплинна рідина утворює вихор. Сила вихору квантована, тобто наплинна рідина може обертатися тільки при певних «припустимих» значеннях кутової швидкості. Обертання нормальної рідини, такої, як вода, не квантується. Якщо швидкість обертання збільшується далі будуть формуватися нові квантові вихори, утворюючи цікаві узори, аналогічні ґратці Абрикосова в надпровіднику.

Надплинна гідродинаміка

Рівняння руху для надплинної компоненти, в дещо спрощеному вигляді[20], задається законом Ньютона

M4 — молярна маса 4He і швидкість надплинної компоненти. Похідна за часом — так звана гідродинамічна похідна, тобто записана для елемента рідини, що сам рухається. У випадку надплинного 4He в гравітаційному полі сила задається як[21][22]

.

У цьому виразі μ — мольний хімічний потенціал, g — гравітаційне прискорення, і z — вертикальна координата. Таким чином,

 

 

 

 

(1)

Рівняння (1) виконується тоді і тільки тоді, коли vs не перевищує деяке критичне значення, яке, як правило, визначається діаметром каналу потоку[23][24].

У класичній механіці сила часто є градієнтом потенціальної енергії. Рівняння (1) показує, що, у випадку надплинної компоненти, сила містить член пропорційний градієнту хімічного потенціалу. Завдяки цьому He-II демонструє такі надзвичайні властивості як фонтанний ефект.

Рис. 6. Шлях інтегрування для обчислення μ при довільних p і T.
Рис. 7. Демонстрація фонтанного тиску . Дві посудини, з'єднані супертечею, через яку протікає лише надплинна компонента.
Рис. 8. Демонстрація фонтанного ефекту. Капілярна трубка «закрита» в одному кінці супертечею і вміщена у ванну з надплинним гелієм, а потім нагріта. Гелій тече вгору через трубку і розбризкується як фонтан.

Фонтанний тиск

Для того, щоб переписати рівняння (1) в більш звичній формі ми використовуємо загальну формулу

 

 

 

 

(2)

Тут Sm молярна ентропія і Vm молярний об'єм. За допомогою рівняння (2) μ(p,T) можна визначити за допомогою контурного інтегрування у р-Т площині. Спочатку ми інтегруємо від початку координат (0,0) до (p, 0), тобто, при T = 0. Далі ми інтегруємо з (р, 0) до (p,T), тобто, з постійним тиском (дивись рисунок 6). У першому інтегралі dT=0 , а в другому dp=0. За допомогою рівняння (2) отримуємо

 

 

 

 

(3)

Ми зацікавлені тільки в тих випадках, коли р мале, так що Vm практично незмінний. Отже,

 

 

 

 

(4)

де Vm0 молярний об'єм рідини при T =0 і p =0. Інший член у рівнянні (3) також записується у вигляді добутку Vm0 і величини pf яка має розмірність тиску

 

 

 

 

(5)

Тиск pf називається фонтанним тиском. Його можна обчислити з ентропії 4He, яку, в свою чергу, можна обчислити з теплоємності. Для T =Tλ фонтанний тиск дорівнює 0,692 бар. При густині рідкого гелію 125 кг/м3 і g = 9.8 м/с2 цей тиск відповідає стовпчику рідкого гелію 56-метрової висоти. Отже, у багатьох експериментах, фонтанний тиск сильніше впливає на рух надплинного гелію, ніж сили тяжіння.

За допомогою рівнянь (4) і(5), рівняння (3) набуває форми

 

 

 

 

(6)

Підстановка рівняння (6) в (1) дає

 

 

 

 

(7)

з густиною рідкого 4He при нульовому тиску і температурі ρ₀ = M4/Vm0.

Рівняння (7) показує, що надплинна компонента прискорюється, як зазвичай, гравітаційно зумовленим градієнтом тиску, однак також градієнтом фонтанного тиску.

Покищо рівняння (5) має лише математичний сенс, однак у спеціальних експериментальних установках pf може відображатися як реальний тиск. На малюнку 7 показані дві посудини, обидві з He-II. Ліва посудина має перебувати при нульовій температурі за Кельвіном (Tl=0) і нульовому тиску (pl = 0). Посудини з'єднані так званою супертечею. Це трубка, заповнена дуже дрібним порошком, через що потік нормальної компоненти практично заблокований. Проте надплинна компонента може протікати через цю супертечу без будь-яких проблем (нижче критичної швидкості — близько 20 см/с). У стаціонарному станіvs=0, отож з рівняння (7) випливає

 

 

 

 

(8)

де індекс l (r) стосується лівої (правої) сторони супертечі. В даному конкретному випадку pl = 0, zl = zr, і pfl = 0 (оскільки Tl = 0). Отже,

Це означає, що тиск у правій посудині дорівнює фонтанному тиску при Tr.

Фонтан можна створити в експерименті, поставленому як на малюнку 8. Фонтанний ефект використовується для створення циркуляції 3He в рефрижераторах розчинення.[25][26]

Рис. 9. Транспортування тепла за допомогою протитечії нормальної і надплинної компонент He-II

Перенесення тепла

На малюнку 9 показано експеримент з теплообміну між двома посудинами з температурами TH і TL, з'єднаними трубкою, заповненою He-II. Коли тепло подається до гарячого кінця тиск створюється на гарячому кінці відповідно до рівняння (7). Цей тиск змушує рухатися нормальну компоненту від гарячого кінця до холодного кінця відповідно до рівняння

 

 

 

 

(9)

Тут ηn — в'язкість нормальної компоненти[27], Z — певний геометричний множник, а  — об'ємний потік. Нормальний потік врівноважується потоком надплинної компоненти від холодного до гарячого кінця. На кінцевих ділянках відбувається перетворення нормальної компоненти в надплинну і навпаки. Отже, тепло переноситься, не завдяки теплопровідності, а через конвекцію. Цей вид перенесу тепла є дуже ефективним, так що теплопровідність He-II набагато більша, ніж теплопровідність найкращих матеріалів. Ситуація порівнянна з теплопроводами, де тепло транспортується завдяки газорідинній конверсії. Висока теплопровідність He-II застосовується для стабілізації надпровідних магнітів, наприклад, у Великому адронному колайдері в CERNі.

Теорія

Дворідинний підхід Ландау

Феноменологічна і напівмікроскопічна теорія надплинності гелію-4 Лева Ландау принесла йому Нобелівську премію з фізики 1962 року. Припустивши, що звукові хвилі є найбільш важливими збудженнями в гелії-4 при низьких температурах, він показав, що гелій-4, протікаючи повз стіни, не буде спонтанно створювати збудження, якщо швидкість потоку менша за швидкість звуку. У цій моделі швидкість звуку є «критичною швидкістю», вище якої надплинність руйнується. (Гелій-4 насправді має нижчу швидкість потоку, ніж швидкість звуку, але ця модель корисна для ілюстрації концепції.) Ландау також показав, що звукові хвилі та інші збурення можуть врівноважувати одне одного і рухатися незалежно від іншої частини гелію-4, яка відома як «конденсат».

Виходячи з імпульсу і швидкості потоку збуджень, Ландау потім визначив густину «нормальної» рідини, яка дорівнює нулю при нульовій температурі і збільшується з ростом температури. При так званій температурі лямбда, де густина нормальної складової дорівнює сумарній густині, гелій-4 втрачає надплинність.

Щоб пояснити ранні дані щодо питомої теплоємності надплинного гелію-4, Ландау постулював існування особливого типу збудження, яке він назвав «ротоном», але після отримання точніших даних, він вирішив, що «ротон» не відрізняється від високоімпульсної версії звуку.

Теорія Ландау не розробляла детально мікроскопічної структури надплинної компоненти рідкого гелію. Першу спробу створити мікроскопічну теорію самої надплинної компоненти здісненив Фріц Лондон[28] і Тішою[29][30]. Згодом різні автори запропонували інші мікроскопічні моделі. Їхня головна мета полягає в тому, щоб вивести форму міжчастинкової взаємодії між атомами гелію в надплинному стані з перших принципів квантової механіки. На сьогоднішній день запропоновано кілька моделей такого роду: моделі з вихровими кільцями, моделі твердих сфер, гаусівські кластерні теорії тощо.

Модель вихрового кільця

Ландау вважав, що завихренність з'являється у надплинному гелії-4 у вигляді вихрових листів, але було доведено, що такі листи нестійкі. Ларс Онсагер, а потім незалежно від нього Річард Фейнман, показали, що завихренність з'являється у вигляді квантованих вихрових ліній. Вони також розробили ідею квантововихрових кілець. В 1940-х роках Аріє Байл[31], а також Фейман у 1955,[32] розробили мікроскопічні теорії для ротону, який незабаром спостерігався експериментах з непружного розсіяння нейтронів Палевського. Пізніше Фейнман визнав, що його модель дає лише якісне узгодження з експериментом.[33][34]

Моделі жорстких сфер

Моделі жорстких сфер використовують спрощену форму міжчастинкового потенціалу взаємодії між атомами гелію-4 в надплинних фазах. А саме, потенціал передбачається типу твердих сфер.[35][36][37] У цих моделях якісно відтворюється відомий (ротонний) спектр збуджень Ландау.

Гаусівський кластерний підхід

Цей двомасштабний підхід описує надплинну компоненту рідкого гелію-4. Він складається з двох вкладених моделей, пов'язаних між собою за допомогою параметричного простору. Короткохвильова частина описує внутрішню структуру пакунку плину, використовуючи непертурбативний підхід, заснований на логарифмічному[en] рівнянні Шредінгера

для комплекснозначної функції , тут  — лапласіан щодо вектора .; вона пропонує гаусівськоподібну поведінку густини й міжчастинкового потенціалу внутрішньої взаємодії елемента. Довгохвильова частина — це квантова теорія багатьох тіл таких елементів, яка займається їхньою динамікою і взаємодією. Підхід забезпечує єдиний опис фононних, максонних і ротонних збуджень, і має значне узгодження з експериментом: використовуючи лише один важливий параметр, можна з високою точністю відтворити ротонний спектр Ландау, швидкість звуку і структурний фактор[en] надплинного гелію-4.[38] Ця модель використовує загальну теорію квантових рідин Бозе з логарифмічними нелінійностями[39], що базуються на введенні внеску дисипативного типу[en] в енергію, пов'язану з квантовою функцією ентропії Еверетта-Гіршмана[en][40][41].

Практичне застосування

Ізотоп Гелій-4 є приблизно в мільйон раз поширенішим ніж гелій-3[42], тому, зазвичай коли йдеться про використання надплинного гелію, мають на увазі саме гелій-4.

Останнім часом надплинний гелій-4 був успішно застосований у хімічних спектроскопічних методах як квантовий розчинник[en]. Крапельна спектроскопія в надплинному гелії являє великий інтерес для вивчення молекул газу, оскільки надплинне середовище дозволяє молекулі, сольватованій у ньому, мати ефективну свободу обертання, завдяки чому молекула може поводитися подібно до того, як це було б у «газовій» фазі. Крапельки надплинного гелію також мають характерну температуру близько 0,4 К, що охолоджує сольватовану молекулу (чи молекули) майже до її ровібронного стану[en] (одночасної взаємодії між обертальними, коливальними і електронними ступенями свободи в молекулі).

Надплинний гелій також застосовується у високоточних пристроях, таких як гіроскопи, які дозволяють вимірювати деякі теоретично передбачені гравітаційні ефекти:

  • У космічному апараті Gravity Probe B[en], де свинцеві та ніобієві гіроскопи були занурені в термос із гелієм при температурі нижче -2 K, що дозволило їм зберігати надпровідний стан[43]).
  • Інфрачервоний астрономічний супутник IRAS, запущений у січні 1983 року для збору даних в інфрачервоному діапазоні, був охолоджений за допомогою 73 кілограмів надплинного гелію, підтримуючи температуру 1,6 K (−271,55 °C).

Аналогічна система охолодження була застосована на супутнику COBE, який вивчав реліктове випромінювання (запущений у листопаді 1989 року). Його дьюар містив 650 літрів надплинного гелію.[44]

Розчинення гелію-3 у надплинному гелії-4 призводить до охолодження суміші, що дозволяє досягти ще нижчих температур. Цей процес застосовується в холодильнику розчинення[en]. Нижче температури 870 міліКельвінів утворена суміш спонтанно розділяється на дві фази: надплинний розчин гелію-3 в гелії-4 (містить близько 6% гелію-3) та розчин гелію-4 в гелії-3 (майже повністю складається з гелію-3). Фазу, багату гелієм-3, можна відокремити, випарувати гелій-3 (за температур 500-700 мK парціальний тиск його пари значно більший, ніж гелію-4), охолодити його й знову подати до камери розчинення. Таким чином температура в камері розчинення знову зменшиться. Теоретично цей процес можна продовжувати нескінчено, отримуючи все нижчу й нижчу температуру, однак розмір апарата зростатиме обернено пропорційно T4. Практично так досягають температур близько 0,2 мK. На космічному телескопі Планк (2009—2013) для охолодження детекторів до температури 0,1 К було застосовано саме такий холодильник.

Технологія надплинного гелію використовується для розширення температурного діапазону кріокулерів[en] до нижчих температур. Досі межа становить 1,19 К, але потенційно можливо досягти 0,7 К.[45]

Примітки

  1. Kapitza, P. (1938). Viscosity of Liquid Helium Below the λ-Point. Nature 141 (3558): 74. Bibcode:1938Natur.141...74K. doi:10.1038/141074a0. 
  2. Allen, J. F.; Misener, A. D. (1938). Flow of Liquid Helium II. Nature 142 (3597): 643. Bibcode:1938Natur.142..643A. doi:10.1038/142643a0. 
  3. Liquid hydrogen turns Superfluid
  4. Liquid Helium — Hyperphysics.
  5. Hall, H. E.; Vinen, W. F. (1956). The Rotation of Liquid Helium II. II. The Theory of Mutual Friction in Uniformly Rotating Helium II. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 238 (1213): 215. Bibcode:1956RSPSA.238..215H. doi:10.1098/rspa.1956.0215. 
  6. Rayfield, G.; Reif, F. (1964). Quantized Vortex Rings in Superfluid Helium. Physical Review 136 (5A): A1194. Bibcode:1964PhRv..136.1194R. doi:10.1103/PhysRev.136.A1194. 
  7. Packard, Richard E. (1982). Vortex photography in liquid helium. Physica B+C. 109–110: 1474. Bibcode:1982PhyBC.109.1474P. doi:10.1016/0378-4363(82)90510-1. 
  8. Avenel, O.; Varoquaux, E. (1985). Observation of Singly Quantized Dissipation Events Obeying the Josephson Frequency Relation in the Critical Flow of Superfluid ^{4}He through an Aperture. Physical Review Letters 55 (24): 2704–2707. Bibcode:1985PhRvL..55.2704A. PMID 10032216. doi:10.1103/PhysRevLett.55.2704. 
  9. Bewley, Gregory P.; Lathrop, Daniel P.; Sreenivasan, Katepalli R. (2006). Superfluid helium: Visualization of quantized vortices. Nature 441 (7093): 588. Bibcode:2006Natur.441..588B. PMID 16738652. doi:10.1038/441588a. 
  10. E. Kim and M. H. W. Chan (2004). Probable Observation of a Supersolid Helium Phase. Nature 427 (6971): 225–227. Bibcode:2004Natur.427..225K. PMID 14724632. doi:10.1038/nature02220. 
  11. Moses Chan's Research Group. «SupersolidPenn State University, 2004.
  12. Sophie, A; Rittner C (2006). Observation of Classical Rotational Inertia and Nonclassical Supersolid Signals in Solid 4 He below 250 mK. Phys. Rev. Lett 97 (16): 165301. Bibcode:2006PhRvL..97p5301R. PMID 17155406. doi:10.1103/PhysRevLett.97.165301. 
  13. Sophie, A; Rittner C (2007). Disorder and the Supersolid State of Solid 4 He. Phys. Rev. Lett 98 (17): 175302. Bibcode:2007PhRvL..98q5302R. arXiv:cond-mat/0702665. doi:10.1103/PhysRevLett.98.175302. 
  14. Boninsegni, M; Prokofev (2006). Superglass Phase of 4 He. Phys. Rev. Lett 96 (13): 135301. PMID 16711998. 
  15. Pollet, L; Boninsegni M (2007). Superfuididty of Grain Boundaries in Solid 4 He. Phys. Rev. Lett 98 (13): 135301. Bibcode:2007PhRvL..98m5301P. PMID 17501209. arXiv:cond-mat/0702159. doi:10.1103/PhysRevLett.98.135301. 
  16. Swenson, C. (1950). The Liquid-Solid Transformation in Helium near Absolute Zero. Physical Review 79 (4): 626. Bibcode:1950PhRv...79..626S. doi:10.1103/PhysRev.79.626. 
  17. Keesom, W.H.; Keesom, A.P. (1935). New measurements on the specific heat of liquid helium. Physica 2: 557. Bibcode:1935Phy.....2..557K. doi:10.1016/S0031-8914(35)90128-8. 
  18. Buckingham, M.J.; Fairbank, W.M. (1961). Chapter III The Nature of the λ-Transition in Liquid Helium. The nature of the λ-transition in liquid helium. Progress in Low Temperature Physics 3. с. 80. ISBN 9780444533098. doi:10.1016/S0079-6417(08)60134-1. 
  19. E.L. Andronikashvili Zh. Éksp. Teor. Fiz, Vol.16 p.780 (1946), Vol.18 p. 424 (1948)
  20. S.J. Putterman, Superfluid Hydrodynamics (North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1974) ISBN 0444106812
  21. L.D. Landau, J. Phys. USSR, Vol.5 (1941) p.71.
  22. I.M. Khalatnikov, An introduction to the theory of superfluidity (W.A. Benjamin, Inc., New York, 1965) ISBN 0738203009.
  23. Van Alphen, W.M.; Van Haasteren, G.J.; De Bruyn Ouboter, R.; Taconis, K.W. (1966). The dependence of the critical velocity of the superfluid on channel diameter and film thickness. Physics Letters 20 (5): 474. Bibcode:1966PhL....20..474V. doi:10.1016/0031-9163(66)90958-9. 
  24. De Waele, A.Th.A.M.; Kuerten, J.G.M. (1992). Chapter 3: Thermodynamics and Hydrodynamics of 3He-4He Mixtures. Thermodynamics and hydrodynamics of 3He-4He mixtures. Progress in Low Temperature Physics 13. с. 167. ISBN 9780444891099. doi:10.1016/S0079-6417(08)60052-9. 
  25. Staas, F.A.; Severijns, A.P.; Van Der Waerden, H.C.M. (1975). A dilution refrigerator with superfluid injection. Physics Letters A 53 (4): 327. Bibcode:1975PhLA...53..327S. doi:10.1016/0375-9601(75)90087-0. 
  26. Castelijns, C.; Kuerten, J.; De Waele, A.; Gijsman, H. (1985). 3He flow in dilute 3He-4He mixtures at temperatures between 10 and 150 mK. Physical Review B 32 (5): 2870. Bibcode:1985PhRvB..32.2870C. doi:10.1103/PhysRevB.32.2870. 
  27. J.C.H. Zeegers Critical velocities and mutual friction in 3He-4He mixtures at low temperatures below 100 mK', thesis, Appendix A, Eindhoven University of Technology, 1991.
  28. F. London (1938). The λ-Phenomenon of Liquid Helium and the Bose-Einstein Degeneracy. Nature 141 (3571): 643–644. Bibcode:1938Natur.141..643L. doi:10.1038/141643a0. 
  29. L. Tisza (1938). Transport Phenomena in Helium II. Nature 141 (3577): 913. Bibcode:1938Natur.141..913T. doi:10.1038/141913a0. 
  30. L. Tisza (1947). The Theory of Liquid Helium. Phys. Rev. 72 (9): 838–854. Bibcode:1947PhRv...72..838T. doi:10.1103/PhysRev.72.838. 
  31. Bijl, A; de Boer, J; Michels, A (1941). Properties of liquid helium II. Physica 8 (7): 655–675. Bibcode:1941Phy.....8..655B. doi:10.1016/S0031-8914(41)90422-6. 
  32. Braun, L. M., ред. (2000). Selected papers of Richard Feynman with commentary. World Scientific Series in 20th century Physics 27. World Scientific. ISBN 978-9810241315.  Розділ IV (стор. 313 до 414) описує рідкий гелій.
  33. R. P. Feynman (1954). Atomic Theory of the Two-Fluid Model of Liquid Helium. Phys. Rev. 94 (2): 262. Bibcode:1954PhRv...94..262F. doi:10.1103/PhysRev.94.262. 
  34. R. P. Feynman; M. Cohen (1956). Energy Spectrum of the Excitations in Liquid Helium. Phys. Rev. 102 (5): 1189–1204. Bibcode:1956PhRv..102.1189F. doi:10.1103/PhysRev.102.1189. 
  35. T. D. Lee; K. Huang; C. N. Yang (1957). Eigenvalues and Eigenfunctions of a Bose System of Hard Spheres and Its Low-Temperature Properties. Phys. Rev. 106 (6): 1135–1145. Bibcode:1957PhRv..106.1135L. doi:10.1103/PhysRev.106.1135. 
  36. L. Liu; L. S. Liu; K. W. Wong (1964). Hard-Sphere Approach to the Excitation Spectrum in Liquid Helium II. Phys. Rev. 135 (5A): A1166–A1172. Bibcode:1964PhRv..135.1166L. doi:10.1103/PhysRev.135.A1166. 
  37. A. P. Ivashin; Y. M. Poluektov (2011). Short-wave excitations in non-local Gross-Pitaevskii model. Cent. Eur. J. Phys. 9 (3): 857–864. Bibcode:2010CEJPh.tmp..120I. doi:10.2478/s11534-010-0124-7. 
  38. K. G. Zloshchastiev (2012). Volume element structure and roton-maxon-phonon excitations in superfluid helium beyond the Gross-Pitaevskii approximation. Eur. Phys. J. B 85 (8): 273. Bibcode:2012EPJB...85..273Z. arXiv:1204.4652. doi:10.1140/epjb/e2012-30344-3. 
  39. A. V. Avdeenkov; K. G. Zloshchastiev (2011). Quantum Bose liquids with logarithmic nonlinearity: Self-sustainability and emergence of spatial extent. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 44 (19): 195303. Bibcode:2011JPhB...44s5303A. arXiv:1108.0847. doi:10.1088/0953-4075/44/19/195303. 
  40. Hugh Everett, III. The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics: the theory of the universal wave function. Everett's Dissertation
  41. I.I. Hirschman, Jr., A note on entropy. American Journal of Mathematics (1957) pp. 152—156
  42. J. Emsley (2001). Nature's Building Blocks: An A–Z Guide to the Elements. Oxford University Press. с. 178. ISBN 0-19-850340-7. 
  43. Spacecraft launched to test Albert Einstein's theories - spaceflightnow.com
  44. Boggess, N.W., J.C. Mather, R. Weiss, C.L. Bennett, E.S. Cheng, E. Dwek, S. Gulkis, M.G. Hauser, M.A. Janssen, T. Kelsall, S.S. Meyer, S.H. Moseley, T.L. Murdock, R.A. Shafer, R.F. Silverberg, G.F. Smoot, D.T. Wilkinson, and E.L. Wright (1992). The COBE Mission: Its Design and Performance Two Years after the launch. Astrophysical Journal 397 (2): 420. Bibcode:1992ApJ...397..420B. doi:10.1086/171797. 
  45. Tanaeva, I. A. (2004). Superfluid Vortex Cooler. AIP Conference Proceedings 710. с. 1906. doi:10.1063/1.1774894. 

Література

Посилання