Grandi serisi

Şablon:Çeviri

1 − 1 + 1 − 1 + … sonsuz dizisi ya da

Grandi dizisi olarak adlandırılır. Dizi; İtalyan matematikçi, filozof ve papaz Guido Grandi'ye 1703 yılında yaptığı özgün çalışmalardan ötürü adanmıştır. Genel anlamda toplamı olmayan bir ıraksak dizi olarak tanımlanan ifadenin Cesàro toplamı ½'dir.

Deneysel yöntem

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … toplamını hesaplamanın en basit yolu onu bir iç içe dizi olarak algılamak ve çıkarma işlemlerini doğrudan gerçekleştirmektir.

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0

Öte yandan, terimler farklı bir yolla öbeklendirildiğinde toplam, yukarıda elde edilen sonuçla çelişmektedir.

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1

Grandi dizisini ayraçlar yardımıyla öbeklere ayırma yoluyla ulaşılabilen "değerler" 0 ve 1'dir. Eilenberg–Mazur hilesi olarak adlandırılan benzer bir yöntem düğüm kuramı ve cebirinde zaman zaman kullanılmaktadır.

Grandi dizisi bir ıraksak geometrik dizi olarak ele alındığında ise yakınsak geometrik dizilere uygulanan yöntemler bu diziye uyarlanarak farklı bir değer bulunabilmektedir.

S = 1 − 1 + 1 − 1 + … ve
1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 - 1 + 1 - 1 + … = S
S = 12

Aynı sonuca −S hesaplanıp sonuç S'den çıkarıldıktan sonra 2S = 1 çözümüyle de ulaşılabilmektedir.[1]

Dizi üzerinde yapılan bu oynamalar bir dizinin toplamının tam olarak ne ifade ettiği konusuna odaklanmamaktadır. Dizileri isteğe göre öbeklere ayırmak ve bunlar üzerinde dört işlem uygulaması yapmak her ne kadar önemliyse de şu iki sonuca ulaşmak olasıdır:

  • 1 − 1 + 1 − 1 + … dizisinin bir toplamı yoktur.[2][1]
  • ...ancak toplam 12 olmalıdır.[2]

Her iki ifade doğrulanabilir ve kanıtlanabilir ancak bunu gerçekleştirmek için 19. yüzyılda bulunan matematiksel kavramlara gerek duyulmaktadır. Kalkülüsün Avrupa'ya gelişinden 18. yüzyılın sonuna dek geçen süre matematikçiler arasında bu konuda yaşanan "bitmeyen" ve "sert" tartışmalara tanıklık etmiştir.[3][4]

Geçmişi

Iraksaklığı

Çağdaş matematikte bir sonsuz dizinin toplamı onun kısmi toplamları dizisinin limiti olarak tanımlanmaktadır. Grandi dizisinin kısmi toplamlar kümesi hiçbir sayıya yaklaşmayan 1, 0, 1, 0, … dizisidir (0 ve 1 noktalarındaki birikim sayılmazsa). Bu, Grandi dizisinin ıraksak olduğunu göstermektedir.

Dizi üzerinde yapılan küçük oynamalar (terimlerin yerlerinin değiştirilmesi gibi) dizi mutlak yakınsak olmadıkça geçerli işlemler değillerdir çünkü bu tür oynamalar toplam değerini değiştirmektedir. Grandi dizisine uygulanan bu tür yöntemlerin yalnızca 0 ve 1 değil, farklı toplam değerlerine yol açtığı bilinmektedir.

Eğitimdeki yeri

Toplanabilirliği

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ a b Devlin s. 77
  2. ^ a b Davis s. 152
  3. ^ Kline 1983 s. 307
  4. ^ Knopp s. 457

Kaynakça

Dış bağlantılar

  • E. T. Whittaker, G. N. Watson, A course of modern analysis, 4. baskı, (Cambridge University Press, 1962), 2.1